Решение уравнений методом разложения на множители

Решение уравнений разложения на множители (метод расщепления) – это способ решения уравнений при котором мы стремимся уравнение свести их к виду:

( )∙( )∙…∙( )=0,

а затем каждую скобку приравнять к нулю и решить как отдельное уравнение.

Пример. Решите уравнение x²+5x=0
Решение:

х2+5x=0		Вынесем за скобку икс.
x(x+5)=0		Разобьем уравнение на два простейших.
x=0                    x+5=0		В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести 5 в правую сторону.
x=0                   x=−5

Ответ: 0; −5.

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей  равен нулю.

Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки. А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители, знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д. 

Решите уравнение x³+4x²−4x−16=0
Решение:

х3+4x2−4x−16=0		Перед нами кубическое уравнение. Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем x2, а из второй – минус четверку.
х2(x+4)−4(x+4)=0		Вынесем за скобку x+4.
(x+4)(x2−4)=0		Разложим на множители x2−4 по формуле сокращенного умножения.
(x+4)(x−2)(x+2)=0		Расщепим уравнения на три.
x+4=0     x−2=0    x+2=0   x=−4     x=2x        x=−2

Ответ: −4; 2;  −2

Решите уравнение в целых числах: x² - y² = 91.

Решение.

Разложим левую часть данного уравнения на множители: (х–у)(х+у)= =91. Так как 

91= 1 * 91 =91 * 1=(-1) * (-91) = (-91) * (- 1) = 7 * 13 = 13 * 7 = (-7) * (-13) = (-13) * (-7), то решение данного уравнения сводится к решению восьми систем:

1)x – y = 1  и  x + y = 91

(46; 45)

2)x – y =- 1   и  x + y =- 91

(-46; -45)

3)x – y = -91  и   x + y = 1

(46; -45)

4)x – y = -91  и  x + y = -1

(-46; 45)

5)x – y = 7    и   x + y = 13

(10; 3)

6)x – y = -7   и  x + y = -13

(-10; -3)

7)x – y = 13  и   x + y = 7

(10; -3)

8)x – y = -13   и   x + y = -7

(-10; 3)

Ответ.

(46; 45),(46; - 45),(-46; -45),(-46; 45),(10; 3),(10; -3),(-10; -3),(-10; 3).

Решите в целых числах х³ + 91 = у³.

Решение.

Перепишем данное уравнение в следующем виде у³ - х³ = 91, разложим левую часть на множители (у – х)(у² + ху + х²) = 91. Заметим, что у² + ху + х² = (у + х/2)² + ¾х² ³ 0 при уÎR.

Значит, решение данного уравнения сводится к решению следующих систем

1) у – х = 1  и  у² + ху + х² = 91 решая данную систему, получаем (5; 6),(-6; -5);

2) у – х = 1  и  у² + ху + х² = 1 система не имеет решения в целых числах;

3) у – х = 13  и   у² + ху + х² = 7 решений в целых числах нет;

4) у – х = 7  и   у² + ху + х² = 13 решая данную систему, получаем (-3; 4),(-4;3).

Ответ.

(5; 6), (-6; -5), (5; 6), (-6; -5).

Решите в натуральных числах х² - 4ху – 5у² = 1996.

Решение.

Перепишем уравнение в виде (х²-4ху+4у²)–9у²=1996, (х-4у)²–9у²=1996.

Разложим левую часть на множители (х – 5у)(х + у) = 1996.

1996=1 * 1996=2 * 998=4 * 499= -1 * (-1996)= -2 * (-998) = -4 * (-499).

Так как х Î N, yÎN, то (х + у) Î N, причём (х + у) > 1. Если (х + у)ÎN и (х + у)(х – 5у) = 1996, то (х – 5у) Î N. Тогда решение получившегося уравнения сводится к решению следующих систем

1)х - 5у = 1   и   х + у = 1996

решений в натуральных числах нет

2)х - 5у = 499  и    х + у = 4        или     х - 5у = 4     и  х + у = 499

системы решений в натуральных числах не имеют

3)х - 5у = 2   и   х + у =998 или х - 5у = 988   и   х + у =998 

(832; 166) 

Ответ.

х = 832, у = 166.

Решите практическое задание