Решение уравнений в целых числах

Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

б) 5х + 7у = 19;

в) 201х – 1999у = 12.

Решение

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x₀ = 1, y₀ = 2.

Тогда

5x₀ + 7y₀ = 19,

откуда

5(х – x₀) + 7(у – y₀) = 0,

5(х – x₀) = –7(у – y₀).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x₀ = 7k, у – y₀ = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

Решить уравнение у - х - ху = 2 в целых числах.

Решение: у - ху - х + 1 = 3, (у + 1)(1 - х) = 3,

3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).

у + 1 = 1 или у + 1 = 3 или у + 1 = -1 или у + 1 = -3

1 - х =3, 1 - х =1, 1 - х = -3, 1 - х = -1.

у = 0 или у = 2 или у = -2 или у = -4 х =-2, х = 0, х = 4, х = 2

Ответ: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).

Решить в целых числах уравнение 5х + 10у = 21.

Решение:

5(х + 2у) = 21, т. к. 21 = 5n, то корней нет.

Ответ. Корней нет.

Требуется на один рубль купить 40 штук почтовых марок - копеечных, 4- копеечных и 12 - копеечных. Сколько марок каждого достоинства можно купить?

Решение:

Можно составить два уравнения: x + 4у + 12z = 100    и     x + y + z = 40, где х - число копеечных марок, у - 4-копеечных, z - 12-копеечных. Вычитаю из первого уравнения второе получаю:

3у + 11z = 60, y = (60 - 11z)/3 = 20 - 11· z/3.

Пусть z/3 = t, z = 3t. Тогда получаю, если х + у + z = 40 и z = 3t, а у = 20 - 11t, х = 20 + 8t.

Т. к. х >= 0, у >= 0, z >= 0, то 0 <= t <= 20/11, откуда t = 0, или t = 1.

Тогда соответственно получаю: t = 0, х = 20, у = 20, z= 0; t = 1, х = 28, у = 9, z = 3.

Итак, покупка марок может быть произведена только двумя способами, а если поставить условие, чтобы была куплена хотя бы одна марка каждого достоинства, - только одним способом.

Ответ. 28 марок по 1 копейке, 9 марок по 4 копейки и 3 марки по 12 копеек.

Иванушка Дурачок бьется со Змеем Горынычем, у которого 2001 голова. Махнув мечем налево, Иван срубает 10 голов, а взамен вырастают 16. Махнув, мечем направо - срубает15, вырастают - 6. Если все головы срублены - новых не вырастает. Махать можно в произвольном порядке, но если голов меньше 15, то только налево, а если меньше 10, то вообще нельзя. Может ли Иванушка Дурачок победить Змея Горыныча?

Решение:

Переформулирую задачу: можно ли срубить 1986 голов? Тогда, оставшиеся 15, Иван срубит одним ударом направо и новых не вырастет.

Пусть х - число ударов направо, а у - число ударов налево, тогда 1986 - 9х + 6у = 0.

Поделю всё уравнение на 6, получу

3х - 2у = 662.

у =(3х – 662)/2= х - 331 + х/2.

Пусть х/2 = t, тогда x = 2t, a y = 3t - 331.

Т. к. х >= 0, у >= 0, то t >= 111, отсюда t = 111, х = 222, у = 2.

Получаю: ударив 220 раз направо, Иван срубает 1980 голов и у Змея остаётся 21 голова; затем 2 удара налево и у Змея вырастают 12 голов, всего их становится 33; следующие 2 удара направо лишают Змея 18 голов и оставшиеся 15 Иван срубает последним ударом направо и новых голов уже не вырастает.

Ответ: 220 ударов направо, 2 удара налево и ещё 3 удара направо.

Пете в 1987 году было столько лет, какова сумма цифр года его рождения. В каком году он родился?

Решение.

Пусть Петя родился в 19ху году. Тогда в 1987 году ему было 1987-19ху, или (1+9+х+у) лет. Имеем уравнение:

87-(10х+у)=10+х+у

77-11х=2у у=77-11х2=38-11х-12.

Учитывая, что х и у - цифры десятичной системы счисления, то подбором находим: х=3, у=1.

Ответ. Петя родился в 1970 году.

А теперь попробуйте решить задания самостоятельно.