Принцип Дирихле
По традиции принцип Дирихле почему-то всегда объясняют на примере кроликов
в клетках: если общее число кроликов больше числа клеток, в одной из этих
клеток наверняка сидит более одного кролика. Также этот принцип может выглядеть
следующим образом: в n клетках невозможно рассадить по одиночке n+1 кроликов,
т.е найдётся клетка, где сидят не менее двух кроликов . Таким образом, чтобы
применить принцип Дирихле к решению задач, надо указать, что принимать за
"клетки", а что за "кроликов", а также указать способ,
которым надо усаживать "кроликов" в "клетки.
Задача
1.
В городе более 8000
тысяч жителей. Ученые считают, что у каждого человека менее 200000 волос на
голове. Докажите, что существует, по крайней мере, 41 житель с одинаковым
количеством волос на голове.
Решение.
Сколько за условием
жителей? - 8000000.
Сколько вариантов
количества волос на голове у одного жителя? - 200 000 (от 0 до 199 999).
8000000 = 40 ∙ 200000
Согласно принципу
Дирихле (k = 40, k + 1 = 41), найдутся по крайней мере 41 жителей с одинаковым
количеством волос на голове.
Задача
2.
15 мальчиков собрали 100 грибов. Докажите, что
по крайней мере два мальчика собрали одинаковое количество грибов.
Решение.
Для решения этой задачи
нужно составить противоположное утверждение и доказать его неверность.
Пусть каждый из 15
мальчиков собрали разное количество грибов.
1-й мальчик - 0 грибов,
2-й мальчик - 1 грибов,
.........................
15-й мальчик - 14 грибов.
Подсчитаем количество всех грибов:
0 + 1 + 2 + 3 +
4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105 грибов.
Но по условию
собрано лишь 100 грибов, поэтому наше утверждение, что все мальчики собрали
разное количество грибов неверна, поэтому можно сказать, что по крайней мере
два мальчика собрали одинаковое количество грибов.
Во дворе 36 детей школьного возраста, в районе 7 школ. Все
дети 1 сентября пошли в школу. Докажите, что по крайней мере в одной школе
учится не менее 5 детей из этого двора.
Задание № 2
7 космонавтов отправляются в полет. Ракета выдерживает 497
кг. Известно, что вес первого космонавта 51 кг. Все остальные космонавты весят
более 51 кг и во всех космонавтов вес разная. Выдержит их ракета?
Комментариев нет:
Отправить комментарий