Решение уравнений  с модулем

Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х₁=9, х₂=1.

Ответ: 9; 1.

Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.

1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х₁=5,5, х₂= -4,5.

2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.

Ответ: 5,5; -4,5.

2 способ. Метод интервалов.

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.

Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:

                  -3                                      1                    

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х < -3) оба выражения, стоящие под знаком модуля отрицательны, поэтому при записи уравнения без  абсолютной величины знаки этих выражений меняем на противоположные. Получим уравнение:

-х-3-х+1=6. Откуда х= -4. Число -4 является решением данного уравнения, так как оно принадлежит рассматриваемому промежутку. Во втором промежутке (-3 ≤ х < 1) первое выражение положительно, а второе отрицательно. Рассуждая аналогично, получим уравнение: х+1-х+1=6, откуда получаем неверное числовое равенство, то есть в рассматриваемом промежутке уравнение корней не имеет. В последнем промежутке (х ≥ 1) оба выражения положительны, поэтому уравнение записывается так: х+3+х-1=6. Откуда х=2. Это значение удовлетворяет неравенству х ≥ 1. Ответ: -4; 2.

Пример 4. |2-х|=2х+1.

Прежде всего, следует установить область допустимых значений. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости этого делать. В этом уравнении в правой части  стоит выражение с переменной, которое может быть отрицательным. Таким образом, область допустимых значений – это промежуток [-½; +∞). Найдем нуль выражения, стоящего под знаком модуля: 2-х=0, х=2.

В первом промежутке: 2-х=2х+1, х=⅓. Это значение принадлежит ОДЗ, значит, является корнем уравнения.

Во втором промежутке: -2+х=2х+1, х= -3. -3 не принадлежит ОДЗ, а следовательно не является корнем    уравнения. Ответ: ⅓.

3 способ. Графический метод.

Суть данного метода заключается в использовании графиков функций для нахождения корней уравнения. Этот метод реже  других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Пример 5. |х+1|=2. Построим графики функций у=|х+1| и у=2.

       Для построения графика у=|х+1|, построим график функции у=х+1, а затем отразим часть прямой, лежащую ниже оси ОХ.

Абсциссы точек пересечения графиков и есть корни уравнения: х₁=1, х₂= -3. Ответ: 1; -3.

Пример 6. |х²-1|=|4-х²|.

Построим графики функций у=|х²-1| и у=|4-х²|. Для этого построим графики функций у= х²-1 и у=4-х², а затем отобразим часть графиков, лежащую ниже оси ОХ.

х₁≈1,6; х₂≈-1,6.

4 способ. Метод решения при помощи зависимостей между числами а и в, их модулями и квадратами этих чисел.

Опорная информация: 

|а|=|в| а=в или а=-в; а2=в2 а=в или а=-в;   (1) |а|=|в|  а2=в2           (2)

 

Пример 7. Решим уравнение |х²-8х+5|=|х²-5|.

Учитывая соотношение (1), получим:

х²-8х+5= х²-5          или          х²-8х+5= -х²+5 

х=1,25                                      х=0 или х=4.

Таким образом, корни исходного уравнения: х₁=1,25; х₂=0; х₃=4.

Ответ: 1,25; 0; 4.

Пример 8. |х+3|=|х-5|.

В силу соотношения (2) получаем: (х+3)²=(х-5)²;

                                                            х²+6х+9= х²-10х+25;

                                                             х=1.

Ответ:1.

Пример 9. (1-3х)²=(х-2)².

Учитывая соотношение (2), получаем: |1-3х|=|х-2|, откуда из соотношения  (1), имеем:

1-3х=х-2          или          1-3х= -х+2

х=0,75                               х= -0,5.

Ответ: 0,75; -0,5.

5 способ. Использование геометрической интерпретации модуля.

Опорная информация: геометрический смысл модуля разности величин – это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |х-а| - длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример 10. |х-2|+|х-3|=1.

Исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой х до двух фиксированных точек с абсциссами 2 и 3. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами, принадлежащими отрезку [2;3] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка – нет. Отсюда, множеством решений уравнения является отрезок [2;3].

Ответ: [2;3].

Пример 11. |х-2|-|х-3|=1.

Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 2 и 3 равна 1 только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 3. Следовательно, решением данного уравнения будет являться луч, выходящий из точки 3, и направленный в положительном направлении оси ОХ.

Ответ: [3;+∞).

Обобщением вышеприведенных уравнений 10 и 11 являются следующие равносильные переходы:

|х-а|+|х-в|=в-а, где в ≥ а а ≤ х ≤ в          |х-а|-|х-в|=в-а, где в ≥ а х ≥ в

Попробуйте самостоятельно решить уравнения: