Параллельные прямые

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность прямых а и b обозначают так: а||b. На рисунке 1 изображены прямые a и b, перпендикулярные к прямой с. Такие прямые а и b не пересекаются, т. е. они параллельны.

Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. На рисунке (рис. 2,а) отрез­ки АВ и СD параллельны (АВ||СО) а отрезки МN и СD не параллельны. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой (рис. 2,б), луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей(рис. 2,в).

Признаки параллельности двух прямых

Прямая с называется секущей ми отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 3). При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 3 обозначены цифрами.

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Рассмотрим три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.

1.      Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2.      Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3.      Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые - это прямые, которые при пересечении образуют четыре прямых угла 

Перпендикулярность прямых обозначают специальным символом -  , т.е. можно записать HF   NK (читается: "прямая HF перпендикулярна к прямой NK).

Чтобы начертить перпендикулярные прямые используют чертежный угольник и линейку (Рис.2).

 С помощью линейки проводят прямую  , далее к прямой   прикладывают чертежный угольник так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол, совпадала с прямой   . Ко второй стороне чертежного угольника, образующей прямой угол, прикладывают линейку, вдоль которой проводят прямую  , в итоге имеем  .

Свойство перпендикулярных прямых:

Если две прямые, перпендикулярны к третьей то, они не пересекаются.

На Рис.3  , поэтому n∩k (прямая   не пересекает прямую  ).

Рассмотрим примеры решения задач

1.                  Точки A и D лежат на одной из двух параллельных прямых, точки B и C – на другой, причём прямые AB и CD также параллельны.
Докажите, что  AB = CD  и  AD = BC.

Решение: Соединим точки B и D. По свойству параллельных прямых  ∠ADB = ∠CBD,  ∠ABD = ∠CDB,  поэтому треугольники ADB и CBD равны по общей стороне BD и двум прилежащим к ней углам. Следовательно,  AB = CD  и  AD = BC.

2.  Дан угол с вершиной A. От точки A отложен на стороне отрезок AB; из точки B проведена прямая, параллельная второй стороне данного угла; на этой прямой отложен внутри угла отрезок BD, равный BA. Докажите, что прямая AD делит данный угол пополам. (Подсказка. AD – секущая при параллельных прямых.)

Решение: Пусть M – точка на второй стороне угла, отличная от A. Тогда  ∠MAD = ∠ADB  (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AM и BD и секущей AD). Поскольку  ∠ADB = ∠BAD  (треугольник ABD – равнобедренный), то  ∠MAD = ∠BAD.

Задачи для самостоятельного решения

1.Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой AC. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной B относятся как  3 : 10 : 5. Найдите углы треугольника ABC.

2. На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N, причём  MN || AB  и  MN = AM. Найдите угол BAN, если  ∠B = 45°  и  ∠C = 60°.

3. Известно, что при пересечении прямых a и b третьей прямой образовалось 8 углов. Четыре из этих углов равны 80°, а четыре других равны 100°. 
Следует ли из этого, что прямые a и b параллельны?

4. Опустить из данной точки A вне прямой l перпендикуляр на эту прямую, проведя не более трёх линий? (Третьей линией должен быть перпендикуляр.)