Решение уравнений  методом замены

Рассмотрим подробно на примерах метод замены переменных для решения рациональных уравнений.

Пример 1.

Решить уравнение (2x² – 3x + 1)² = 22x² – 33x + 1.

Решение.

Перепишем уравнение в виде

(2x² – 3x + 1)² = 11(2x² – 3x) + 1. Сделаем замену. Пусть 2x² – 3x = t, тогда уравнение примет вид:

(t + 1)² = 11t + 1.

Теперь раскроем скобки и приведем подобные, получим:

t² + 2t + 1 = 11t + 1;

t² – 9t = 0.

В получившемся неполном квадратном уравнении вынесем общий множитель за скобки, будем иметь:

t(t – 9) = 0;

t = 0 или t = 9.

Теперь необходимо сделать обратную замену и решить каждое из полученных уравнений:

2x² – 3x = 0       или        2x² – 3x = 9

x(2x – 3) = 0                    2x² – 3x – 9 = 0 

x = 0 или x = 3/2              x = 3 или x = -3/2

Ответ: -1,5; 0; 1,5; 3.

Пример 2.

Решить уравнение (x² – 6x)² – 2(x – 3)² = 81.

Решение.

Применим формулу квадрата разности (a – b)² = a² – 2ab + b². Запишем исходное уравнение в виде

(x² – 6x)² – 2(x² – 6x + 9) = 81. Теперь можно сделать замену.

Пусть x² – 6x = t, тогда уравнение будет иметь вид:

t² – 2(t + 9) = 81.

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:

t² – 2t – 18 – 81 = 0;

t² – 2t – 99 = 0.

По теореме Виета корнями полученного уравнения будут числа -9 и 11.

Сделаем обратную замену:

x² – 6x = -9        или      x² – 6x = 11

x² – 6x + 9 = 0               x² – 6x – 11 = 0

(x – 3)² = 0                     D = 80 

x = 3                              x₁ = 3 + 2√5; x₂ = 3 – 2√5.

Ответ: 3 – 2√5; 3; 3 + 2√5.

Пример 3.

Решить уравнение (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 и найти произведение его корней.

Решение.

Найдем «выгодный» способ группировки множителей и раскроем пары скобок:

((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;

(x² + 5x – x – 5)(x² + 7x – 3x – 21) = 297;

(x² + 4x – 5)(x² + 4x – 21) = 297.

Cделаем замену x² + 4x = t, тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

(t – 5)(t – 21) = 297.

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:

t² – 21t – 5t + 105 = 297;

t² – 26t – 192 = 0.

По теореме Виета определяем, что корнями полученного уравнения будут числа -6 и 32.

После обратной замены будем иметь:

x² + 4x = -6        или     x² + 4x = 32

x² + 4x + 6 = 0              x² + 4x – 32 = 0

D = 16 – 24 < 0              D = 16 + 128 > 0 

Нет корней                    x₁ = -8; x₂ = 4

Найдем произведение корней: -8 · 4 = -32.

Ответ: -32.

Пример 4.

Найти сумму корней уравнения (x² – 2x + 2)² + 3x(x² – 2x + 2) = 10x².

Решение.

Пусть x² – 2x + 2 = t, тогда уравнение примет вид:

t² + 3xt – 10x² = 0.

Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно t.

D = (3x)² – 4 · (-10x²) = 9x² + 40x² = 49x²; ≥≤

t₁ = (-3x – 7x) / 2 и t₂ = (-3x + 7x) / 2;

t₁ = -5x и t₂ = 2x.

Так как t = x² – 2x + 2, то

x² – 2x + 2 = -5x или x² – 2x + 2 = 2x. Решим каждое из полученных уравнений.

x² + 3x + 2 = 0 или x² – 4x + 2 = 0.

Оба уравнения имеют корни, т.к. D > 0.

С помощью теоремы Виета можно сделать вывод, что сумма корней первого уравнения равна -3, а второго уравнения 4. Получаем, что сумма корней исходного уравнения равна -3 + 4 = 1

Ответ: 1.

Пример 5.

Найти корень уравнения (x + 1)⁴ + (x + 5)⁴ = 32, принадлежащий промежутку [-5; 10].

Решение.

Пусть x = t – 3, тогда x + 1 = t – 2; x + 5 = t + 2 и исходное уравнение принимает вид:

(t – 2)⁴ + (t + 2)⁴ = 32. Для возведения выражений в четвертую степень можно воспользоваться треугольником Паскаля:      

                    1

                 1    1

               1   2   1

             1  3   3   1

           1  4   5   4   1

         1  5  10 10  5   1

Тогда

(t – 2)⁴ = t⁴ – 4t³ · 2 + 6t² · 2² – 4t · 2³ + 2⁴;

(t + 2)⁴ = t⁴ + 4t³ · 2 + 6t² · 2² + 4t · 2³ + 2⁴.

После приведения подобных слагаемых получим:

2t⁴ – 2 · 6t²· 2² + 2 · 2⁴ = 32;

t⁴ + 6t² · 2² + 2⁴ = 16;

t⁴ + 24t² + 16 = 16;

t⁴ + 24t² = 0;

t² (t² + 24) = 0;

t = 0 или t² = -24.

Второе уравнение не имеет корней, а значит t = 0 и после обратной замены

x = t – 3 = 0 – 3 = -3. Корень уравнения -3 принадлежит промежутку [-5; 10].

Ответ: -3.

Как видим, при решении рациональных уравнений необходимо знать приведенные выше формулы и уметь правильно считать. Ошибки же чаще всего возникают при выборе замены и при обратной подстановке. Чтобы этого избежать, нужно расписывать подробно каждое действие, тогда ошибок в ваших решениях не будет.

Метод интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x) > 0 и f (x) < 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1.     Решить уравнение f (x) = 0;

2.     Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;

3.     Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;

4.     Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.

Вот и все! После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f (x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f (x) < 0.

Задача. Решите неравенство:

(x − 2)(x + 7) < 0

Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x − 2)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x − 2 = 0 ⇒  x = 2;
x + 7 = 0  ⇒  x = −7.

Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:                                 -7                  2

Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;

Получаем, что f(3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.

Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси.           +        -        +

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x − 2)(x + 7) < 0

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

Задача. Решите неравенство:

(x + 9)(x − 3)(1 − x) < 0

Шаг 1: приравниваем левую часть к нулю:

(x + 9)(x − 3)(1 − x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.

Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:           -9         1         3

Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x = 1. Например, можно взять x = 10. Имеем:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197 < 0.

Шаг 4: расставляем остальные знаки. Помним, что при переходе через каждый корень знак меняется. В итоге наша картинка будет выглядеть следующим образом:        +       -        +         -

Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:

(x + 9)(x − 3)(1 − x) < 0

Это неравенство вида f (x) < 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Это и есть ответ.

Замечание по поводу знаков функции

Практика показывает, что наибольшие трудности в методе интервалов возникают на последних двух шагах, т.е. при расстановке знаков. Многие начинают путаться: какие надо брать числа и где ставить знаки.

Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим два замечания, на которых он построен:

1.     Непрерывная функция меняет знак только в тех точках, где она равна нулю. Такие точки разбивают координатную ось на куски, внутри которых знак функции никогда не меняется. Вот зачем мы решаем уравнение f (x) = 0 и отмечаем найденные корни на прямой. Найденные числа — это «пограничные» точки, отделяющие плюсы от минусов.

2.     Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала. Например, для интервала (−5; 6) мы вправе брать x = −4, x = 0, x = 4 и даже x = 1,29374, если нам захочется. Почему это важно? Да потому что многих учеников начинают грызть сомнения. Мол, что если для x = −4 мы получим плюс, а для x = 0 — минус? А ничего — такого никогда не будет. Все точки на одном интервале дают один и тот же знак. Помните об этом.

Задача. Решите неравенство:

x(2x + 8)(x − 3) > 0

Заменяем неравенство уравнением и решаем его:

x(2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Отмечаем все три корня на координатной прямой (сразу со знаками):

                                   -          +          -         +

                                       -4          0          3

Справа на координатной оси стоит плюс, т.к. функция имеет вид:

f (x) = x(2x + 8)(x − 3)

А если подставить бесконечность (например, миллиард), получим три положительных скобки. Поскольку исходное выражение должно быть больше нуля, нас интересуют только плюсы. Осталось выписать ответ:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)