1. Понятие уравнения

Равенство, содержащее одну или несколько переменных,  называется уравнением. 

Уравнение может быть верным при одних значениях этой буквы  и неверным при других ее значениях.   

          Например, уравнение           x + 6   = 7   

          верно при                x   =   1   

          и   неверно   при         x   =   2 .   

   Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство,   называют корнем уравнения.   

    Например, корнем уравнения   x + 2   =   5   является число   3 .   

    Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что оно не имеет решения.   

    Линейные уравнения — это уравнения вида  ax = b     где a и b — числа, x — переменная.

Уравнения, сводящиеся к виду ax=b при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей на число, отличное от нуля (то есть при помощи равносильных преобразований), также часто называют линейными (правильнее называть их уравнениями, сводящимися к линейным).

Рассмотрим примеры уравнений, сводящихся к линейным.

   4(9 - 5x) + 7x = 11 - 2(8x + 1)

Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «+», знаки  не меняем. Если перед скобками стоит знак «-«, знаки меняем на противоположные:
36 - 20х + 7х = 11 - 16х - 2

  Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую. При переносе знаки слагаемых меняем на противоположные:

  - 20х +7х + 16х = 11 - 2 - 36

  3х = - 27
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед переменной:
  x = - 27:3

  х = - 9

Ответ: - 9.

  9x - 3(12 - 7x) = 5(6x - 7) - 1

Раскрываем скобки:

  9х - 36 + 21х = 30х - 35 - 1

Неизвестные слагаемые перенесём в левую часть, известные — в правую. Знак каждого слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую меняем на противоположный:

  0х = 0

(Обратите внимание: хотя сумма слагаемых  с переменной равна нулю, результат записываем не как 0, а как 0x).

Какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо x, получим верное равенство.

Ответ: x — любое число.

5x - 24 = 4(x + 7) - (12 - x)

Раскрываем скобки:
5х - 24 = 4х +28 - 12 + х 

Можно сначала привести подобные слагаемые, чтобы упростить уравнение:

  5х - 24 = 5х +16

а уже потом перенести: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую:

  5х - 5х = 16 + 24

  0х = 40

Это уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

  8x + 5(2 - 3x) = 4 - 6(10x + 3)

Раскрываем скобки:
8х + 10 - 15х = 4 - 60х - 18              

 Приводим подобные слагаемые:


- 7х + 10 = - 60х - 14Переносим неизвестные слагаемые в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

  - 7х + 60х = -10 - 14

  53х = - 24

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед переменной:

  x = - 24/ 53

Ответ:  x = - 24/ 53

        2.  Сравнение чисел.

                При счете натуральные числа называют по порядку: 1, 2, 3, 4, ... . 

                Число,   которое  при   счете называют раньше,  меньше   того,  которое   при счете  

          называют позже. 

                Число 1 меньше, чем   3,   а  число 4 больше, чем 3. 

          Единица — самое маленькое натуральное число. 

          Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее  точки с большей

          координатой. 

          Нуль меньше любого натурального числа.   

                 Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства,  применяя знаки   <  

         (меньше)   и   >   (больше) .   

          Например: 

                                    1 < 3 ;         4 > 3 ;             5 < 7 .   

         Число 3 меньше, чем 4,   и больше, чем 1.   Это записывают в виде двойного

          неравенства: 

                                                    1 < 3 < 4 .   

          Так как нуль меньше, чем единица, то записывают: 

                                                    0 < 1 .   

           Многозначные числа сравнивают так.   

           Число 1007 больше, чем 929, потому что  1007 — четырехзначное число, а 929 —  

           трехзначное.   

                                  1007 > 929.   

            Числа 3221 и 1723 — четырехзначные, но 3221 > 1723,  потому что в первом числе

            больше тысяч, чем во втором.   

            В четырехзначных числах 7505 и 7287 поровну тысяч,  но сотен в первом числе

            больше, и потому   7505 > 7287 .                     

                

              Для изучения следующей темы перейдите на другую страницу ☝